Et fælleskøkken kan være et godt sted at snakke med mennesker om alt muligt. Da jeg er en meget diskussionslysten person, så havner jeg ofte i diskussioner om alt muligt. I dag mødte jeg Anders i køkkenet, og snakken kom til at falde på om Lance Armstrong (LA) faktisk vandt Frankrigsturen (Tour de France) eller ej.

Anders’ position er at det gjorde han ikke. Efter lidt frem og tilbage snak, så frømfører han en smart analogi. Da han er matematiker, så er det ikke overraskende at han vælger en analogi fra matematikkens verden. Hans analogi er, at det nogle gange er sket i historien, at en matematiker har påstået og andre har været enige om, at han havde bevist et eller andet teorem. Senere skulle det dog vise sig, at der var en fejl i hans forsøg. I sådan et tilfælde mener Anders, ganske korrekt efter min mening, at matematikeren IKKE havde bevist sit teorem.

Dette mener Anders er analogt til situationen med Frankrigsturvindere, som senere får frataget deres medaljer, såsom det skete for LA. Hans analogi er opfindsom, men fejlagtig.

Succesord
Det handler om et lingvistisk og filosofisk koncept success word. Et succesord er et som implicerer sandheden eller lign. af det som der omtales. <bevis> er et succesord. Hvis man har bevist noget, så følger det, at det man har bevist er sandt, og at ens argumentation for påstanden er tilstrækkelig. En argumentation for en påstand er derfor ikke et bevis hvis 1) påstanden ikke er sand, eller 2) ens argumentation for påstanden var utilstrækkelig. Dette er helt i overensstemmelse med Anders’ matematiker situation.

<at vinde>
Er det så analogt til situationen med cykling? Det kommer helt an på hvordan man forstår konceptet at vinde eller ækvivalente koncepter fra andre sprog, fx EN to win. Det er altså en semantisk diskussion, uanset hvor meget folk påstår ikke at kunne lide den slags. Man må ty til ordbogen:

win (third-person singular simple presentwins, present participlewinning, simple past and past participlewon)

1. (obsolete, transitive) To conquer, defeat.  [quotations ▼]
2. (transitive) To triumph or achieve victory in (a game, a war, etc).
3. (transitive) To obtain (someone) by wooing.
4. (intransitive) To achieve victory.

   Who would win in a fight between an octopus and a dolphin?

5. (transitive) To obtain something that is wanted.

   The company hopes to win an order from the government worth over 5 million dollars.

6. (transitive) To cause a victory for someone.

   The success of the economic policies should win Mr. Smith the next elections. The policy success should win the elections for Mr. Smith.

Det er betydning #2 vi snakker om. Igen må man ty til ordbogen:

victory (plural victories)

1. An instance of having won a competition or battle.

Ordbogen kommer ikke ind på nærmere detaljer. Skal man finde ud af hvem der har ret, så er man nødt til at se på aktuel sprogbrug. Det kan også være at konceptet er for vagt til at nogen har ret, eller måske at begge har ret hvis der er forskellige varianter af konceptet.

Aktuelt sprogbrug
Hvordan bruger folk faktisk ordet når der er tale om snyd? Ingen vil påstå, at det er umuligt at vinde et spil og samtidig snyde. Så, det følger ikke fra, at LA snød i Frankrigsturen til at han ikke vandt selvom han kom først i mål. Altså, selvom at vinde er et succeskoncept, som følger det ikke fra det, at man ikke snød.

Hvad med at snyde, blive opdaget og stadig vinde? Er det en logisk selvmodsigelse? Nej, sådan nogle ting er der masser af eksempler på i historien. Man kan også finde masser af eksempler på at folk snakker om det uden at modsige sig selv. Her er fx TV2Sporten:

Lance Armstrong skal ikke længere noteres for sejrene i Tour de France fra 1999 til 2005, det siger det amerikanske antidopingagentur, Usada. [det er LA's sejre de refererer til]

-

Sporten.tv2.dk giver dig her et overblik over, hvem der sluttede i top-5 i de år, hvor Lance Armstrong vandt Tour de France – og altså dermed står i kø til at overtage Tour-sejrene: [nævner direkte at han vandt, selvom det nu er anerkendt at han snød]

Man kan finde masser af eksempler. Det er ikke bare TV2sporten, her er fx DR om samme.

Hvad med at være anerkendt som vinder, er det tilstrækkeligt til at være en vinder? Tydeligvis ikke. Det er heller ikke konsistent for Anders at påstå dette, eftersom at LA har været anerkendt som vinder i en årrække uden at være det if. Anders.

Fakta og historien

Det leder os ind på et andet emne, nemlig hvordan det virker med fakta om historiske begivenheder. Efter min mening, så er historiske fakta faste, og kan ikke ændres. Faktisk er alle fakta faste; ingen fakta kan ændres, hvorefter også tidsrejser, som populært forstået, er umulige. Det er ikke muligt at ændre historien. Det hælder både fremtiden, fortiden og nutiden. Det man kan gøre, er at ændre fremtiden fra hvad den ellers ville have været. Man kan ikke ændre fremtiden fra hvad den vil blive. Det er en selvmodsigelse. For flere deltaljer om denne måde at tænke på fakta på, se diverse værker af Norman Swartz, David Lewis.

Afsluttende bemærkninger

Da LA kom først over målstregen samtidig med at han ikke var diskvalificeret, og blev udråbt vinder, så ligger det fast, at LA er vinderen af Frankrigsturen det pågældende år. Det kan man ikke lave om på ved senere at fratage ham anerkendelsen af denne sejr. Man kan selvfølgelig godt fratage ham anerkendelsen efter at man fandt ud af, at han snød (ligesom alle de andre).

I mit perspektiv er dette præcist hvad der er sket. LA vandt Frankrigsturen i en årrække. Derfor er han for evigt vinderen af disse Frankrigsturer. Senere fandt man så ud af, at han havde snydt. Derfor ville man gerne straffe ham, ved at fratage ham erkendelsen af, at være sejrsherre i de år. Det er fint nok, men det ændrer intet på hvem der faktisk vandt Frankrigsturen i de år.

“[W]hat follows from a true premiss must be true” (The Problems of Philosophy, p. 60, link)

Wrote Russell as an example of a principle of logic that is more self-evident than the inductive principle. If we were to formalize this we would perhaps write it like this:

E1. □[([∀P][Q∧Q⇒P])→P]¹

Or perhaps just just in propositional logic:

E2. □(P→Q) where “P” means P is true and P implies Q.

As the reader of my blog should know by now, the modal fallacy consists of trusting language and placing the modal operator of necessity in the consequence instead of before the conditional:

E3. P→□Q

However we could also put the modal operator somewhere else in our formalization:

E5. P□→Q

Operators solely ‘work on’ whatever is to the right of them.² Thus the modal operator in (E5) works on the material conditional and not the proposition to the left of it. Similarly in (E2) the modal operator works on the parentheses-set which is treated as a single entity.

(E5) is closer to normal english (and danish) than (E2) which we can express in normal english like this:

E4. Necessarily, if P follows from Q and Q is true, then P is true.

Consider the sentence:

E5. If P follows from Q and Q is true, then P must be true.

(E5) is a reformulation of (E2). (E5) is worded like it would be by a normal english speaking person. In (E5) it may seem as though the modal operator is intended to work on the consequent. Indeed some people think this and commit the modal fallacy.

However the modal operator may also be thought of as working on the second part of the “if, then” clause, that is, the “then” part. The only problem with this interpretation that I know of, is that it makes the operator work on something that is to the left of it instead of to the right of it: Because “then” is to the left of “must” in (E5).

Notes

Teori

Alle eller næsten alle mennesker har prøvet flere gange at opdage, at to af de domme de gik og troede på var inkonsistente. Dette sker forholdsvis ofte. Herfra slutter vi induktivt til at næsten alle mennesker p.t. tror på noget inkonsistent. Men hvis en person tror på noget inkonsistent, så er alle domme slutbare i personens trosystem. Alligevel er vi tilbøjelige til ikke at benytte os af denne chance til at ræsonnere os frem til hvad som helst.

Lad os se på argumentet i sin fulde form:

D:s ≡ Subjekter,

D:p ≡ Domme.

Ts[p] ≡ S tror at p. Det som subjektet tror på er det der står inden i klammerne ”[]”.

Ss[p] ≡ p er slutbar i S’s trosystem.

s ≡ S

Lad os så se eksplosionsargumentet:

Nu bruger vi en lidt stærkere version af fremgangsmåden fra tidligere til at skabe en doksastisk logisk version af dette argument. Fremgangsmåde:

1. Foran alle atomare domme i alle præmisser indsættes ”S tror at ”.¹
2. Foran slutninger inkl. konklusionen indsættes ”Det er slutbart i S’s trosystem at ”.

Argumentets kompleksitet kræver at det oversættes til prædikatslogik. Nu skaber vi en doksastisk logisk version af eksplosionsargumentet:

Bemærk også at Q kan være hvilken som helst dom, så faktisk kunne man i stedet for (5b) skrive: (∀q)(Ss[q]), altså: For alle q, q er slutbar i S’s trosystem, og i stedet for (3b) skrive (∀q)(Ss[p∨q]), altså: For alle q, p eller q er slutbar i S’s trosystem.

Siden at (5b) er logisk impliceret af (3b) og (4b), og at disse domme er logisk impliceret af (1b), så logisk implicerer (1b) (5b). Dette er (2).

Indledning

Doksastisk ≡ har noget med tro at gøre; trosmæssig. Doksastisk logik er logik omkring påstande der omhandler tro. Jeg har gjort mig et par tanker om dette. Andre har allerede konstruerede doksastiske logikker.¹ Dog ser det ud til fra WP’s artikel, at min fremgangsmåde er anderledes end andres.

Teori

En ting man kan bemærke er, at de traditionelle slutningsregler ikke gælder helt men der gælder noget lignende.² Betragt fx konjunktionsreglen. Konjunktionsreglen er den hvor man ud fra to domme kan slutte sig til en sammensat dom; en konjunktion.

Konjunktionsreglen:

En lignende regel gælder i doksastisk logik, konjunktionsreglen i doksastisk logik:

”Slutbart” skal her forstås som det engelske ”inferable”. Et alternativt ord er ”slutteligt”. En definition af dette udtryk er: P er slutbar fra sæt S ≡ Sættet S logisk implicerer P. Alternativ formulering: P er logisk impliceret af sættet S.

”Trosystem” skal forstås som det engelske ”web of belief”. Jeg kunne ikke finde en passende oversættelse af ”web of belief”. Et alternativ er ”doksastisk system” men det er unødvendigt langt.

Det bør bemærkes at en lignende slutning er forfejlet:

Der er uendelig mange ting som følger af blot en enkelt dom, og en givet person tror på mindst en dom. Endvidere, så er det umuligt at en givet person tror på et uendeligt antal domme. Så det er ikke tilfældet, at hvis S tror at P, og S tror at Q, så tror S at P∧Q. Men nogle gange er det tilfældet at folk tror på konjunktioner som er slutbare i deres trosystem.

Ligesom der gælder en lignende regel for konjunktion i doksastisk logik, så gælder der en lignende regel for alle andre slutningsmåder også. Det er måske muligt at finde en generel formel hvormed man kan omdanne en regulær logisk slutningsregel til en doksastisk slutningsregel. Her er mit bud på en sådan formel eller fremgangsmåde:

1. Indsæt ”S tror at ” foran alle præmisser.

2. Indsæt ”Det er slutbart i S’s trosystem at ” foran alle konklusioner.

Det er hurtigt at se at dette svarer til hvad der er er sket med konjunktionsreglen ovenover. Jeg vil give et eksempel til.

Modus ponens reglen:

Den tilsvarende regel i doksastisk logik er ifølge ovennævnte fremgangsmåde:

Dette er sandt. Fremgangsmåden giver rigtige resultater.

Anvendelse

”Hvad kan man bruge doksastisk logik til?” Der er flere goder af doksastisk logik. Det afklarer og giver retningslinjer for hvordan man skal (bør?) ræsonnere med troer. Det giver en ny måde at se på tingene på ligesom med andre modale logikker. (aletisk, temporal, etc.).

Den mest brugbare anvendelse er dog måske denne. Doksastisk logik gør det nemmere at opdage om en person’s trosystem er konsistent. Det sker næsten aldrig at man går rundt og tror på en klar selvmodsigelse (P∧¬P) eller blot umiddelbar indirekte selvmodsigelse såsom (P, og ¬P). Det sker derimod oftere end man skulle tro, at man tror på noget der indirekte og ikke umiddelbart er selvmodsigende såsom (P, Q, ¬T, R, (P∧Q∧¬T)→¬R). Det sker også ofte at det er andre der gør en opmærksom på en inkonsistens i ens trosystem som var der uden at man havde lagt mærke til den.

Her kan doksastisk logik være af stor værdi. For hvis det er slutbart i S’s trosystem at P, og at S tror på ¬P, så har S et inkonsistent trosystem selvom S måske ikke er klar over det. Noget man længe har gået og troet var konsistent er det måske slet ikke. (Cf. naiv set teori.³)

En anden anvendelse af doksastisk logik er, at det gør det muligt at se på forskellige trosystemer på en lettere måde. Når man har med store teorier såsom regularitets teori og nødvendigheds teori i filosofi om fysikkens love⁴, så kan det være svært at se om en person der er tilhænger af den kontrære teori’s holdninger er konsistente eller ej fordi, at denne person ikke blot tror på en anden dom, men andre andre domme medfølgende domme til teorien. Det der skal til er en større vurdering om den ene eller den anden modificering af en person’s trosystem giver den bedste sammenhæng (af eng. ”coherence”. Alternativ oversættelse er ”kohærens”.) set i det store perspektiv. En sådan vurdering er yderst svær at lave, og jeg kender ikke til nogen ikke intuitiv måde at gøre det på.

Det er let at komme til at lave en begging the question indvending mod den teori man ikke tror på, da nogle af teoriens implikationer er inkonsistente med noget man selv tror på, men det er de måske ikke med det en tilhænger af den alternative teori tror på.

I’ve heard that claim, but do you think it is true? I don’t.
All LPoEs (Logical Problem of Evil’s) can be seen as an inconsistent set of propositions. Here’s a really simple version:

Simple LPoE:
1. God is all-good.
2. God is all-powerful.
3. God is all-knowledgeable.
4. If god is all-good, all-powerful and all-knowledgeable, then there is no evil.
5. There is evil.

The above set of propositions is inconsistent, i.e. they cannot all be true; it is impossible that they are all true. But from the fact that a set of propositions cannot be true, it does not follow that any one of them are impossible.

It does not follow either, that if all but one of them are true, then the last is necessarily false; impossibly true. That would be to commit a modal scope fallacy. What does follow from all but one of them being true is that the last one is false. So, there is a confusion between:

1. If all but one of the propositions in an inconsistent set are true, then the last proposition is necessarily false.

2. Necessarily, if all but one of the propositions in an inconsistent set are true, then the last proposition is false.

So, given the above I don’t know why someone thinks that a sound LPoE establishes that god is impossible. For that to work, one would need to establish that evil is necessarily and I don’t think that is feasible. After all, if evil is necessarily, it is not god’s fault that there is evil, is it?

Abstrakt

En analyse af en flertydig sætning. Muligvis med flere typer muligheder i sig. Derefter tre forslag til
en udvidelse af modallogikken således, at flere typer muligheder kan formaliseres. To af forslagene
vælges og deres anvendelighed demonstreres.

flere-slags-muligheder-i-en-sc3a6tning

Introduktion

Denne artikel har to emner. Først vil jeg skitsere en masse implikationer af at benægte den modale fejlslutning viz. benægte, at det er en fejlslutning. Disse implikationer skulle gerne være uacceptable i en bogstavelig forstand. I anden sektion vil jeg kort diskutere modalt kollaps.

den-modale-fejlslutning-reduktioner-og-modalt-kollaps.

Denne fejlslutning er ganske almindelig hos personer som ikke er godt bekendt med logik (især modallogik). Betragt disse to ikke logisk ens sætninger:

I) Hvis der eksisterer mindst et subjekt S som ved hvilket udfald U situation F vil få ved tid t_1, så sker udfald U nødvendigvis ved tid t₁.

II) Nødvendigvis, hvis der eksisterer mindst et subjekt S som ved hvilket udfald U situation F vil få ved tid t_1, så sker udfald U ved tid t₁.

En uheldig egenskab ved normalsproget er, at det ikke skelner mellem disse sætninger og at man i praksis stort set altid bruger (1) hvis man ikke er bekendt med forskellen. Dette gælder for mindst dansk og engelsk og muligvis andre sprog også. Det der sker, er at ‘nødvendig(vis)’ bliver placeret et forkert sted. Den bliver placeret i følgen af en implikation, hvor den i virkeligheden udtaler (eller bør udtale) sig om hele betingelsen. Logisk set betyder sætningerne dette:

I’) P→ □Q

II’) □(P→ Q)

Nu skulle forskellen gerne være tydelig og det skulle ligeledes gerne være tydeligt, at (1) er falsk og (2) typisk ikke understøtter det som man tror at det understøtter. Lad os se på to argumenter, hvoraf det første er meget normal hos unge ateister der ikke er særlig bekendte med logik:

Argument a

Hvis gud ved hvilket udfald situation F vil få ved tid t₁, så får situationen nødvendigvis det udfald som han ved at det får. Hvis situationen nødvendigvis får det udfald, så har alle mennesker som er indblandet i situation F ingen fri vilje i F. Da gud ved udfaldet af alle situationer, så har ingen mennesker fri vilje i mindst en situation.

Argumentet er lidt kompliceret, lad os nøjes med at se på første del af det:

1. Gud ved hvilket udfald situation F vil få ved tid t₁. (præmis eller hypotese)

2. Hvis gud ved hvilket udfald situation F vil få ved tid t₁, så får situationen nødvendigvis det udfald. (præmis)

3. Situationen får nødvendigvis det udfald. (1, 2)

4. Hvis situationen nødvendigvis får det udfald, så har alle mennesker som er indblandet i situation F ingen fri vilje i F. (præmis)

5. Alle mennesker som er indblandet i situation F har ingen fri vilje i F. (3, 4)

Argumentet kan tolkes således. Bemærk 1)at det er besværligt på dansk at udtrykke sig om fremtiden. Dette skyldes måske, at dansk ikke har et fremtidskasus, men kun nutid og datid (og før-varianterne), og 2) at nødvendigvis typisk ikke ville være placeret i starten af en sætning, sådan som man gør i logik for at mindske forvirring (cf. (3))

1′. P

2′. P→ □Q

3′. □Q

4′. □Q→S

5′. S

Argumentet er gyldigt, men problemet er, at (2) er falsk. Forsvarere af argumentet eller lign. argumenter vil typisk argumentere for (2) ved at påpege, at hvis nogen ved noget, så er det nødvendigvis sandt, for ellers ville de ikke vide det. Og dette er igen falsk i denne formulering. At det som man tror er sandt, er et nødvendigt krav for at noget er viden (cf. JTB+), men heraf følger det ikke, at det nødvendigvis er sandt.

Husk på, at en nødvendig sandhed er sand i alle mulige verdener, derfor følger det, at hvis en person ved det, så er det sandt i alle mulige verdener. Men dette er falsk, for der findes mindst en logisk mulig verden hvor Jorden er flad men samtidig ved jeg, at Jorden er rund.

Genkald sætning (I) og (II) fra tidligere. De analoge sætninger ifht. viden er disse:

I”) Hvis nogen ved p, så er p nødvendigvis sand.

II”) Nødvendigvis, hvis nogen ved p, så er p sand.

(I) er falsk, mens at (II) er sand. Men for at argument (a) er holdbart, så kræves det at (I) er sand. Hvis man bytter (2) ud med (II”), så er argumentet ikke længere gyldigt, da □Q ikke følger af (1) og (2). Lad os se på et andet argument.

Argument b

Hvis min mor ved, hvilken uddannelse jeg vil vælge efter gymnasiet, så vil jeg nødvendigvis vælge den uddannelse. Min mor ved hvilken uddannelse jeg vil vælge efter gymnasiet, derfor vil jeg nødvendigvis vælge den uddannelse.

Her ses igen problemet med at ‘nødvendigvis’ er placeret forkert. Den er sand når den udtaler sig som om hele implikationen, men falsk når den kun udtaler sig om følgen. Hvis dette argument var holdbart, så ville det demonstrere, at jeg ikke kan ombestemme mig, men dette er forkert.

Læsestof

En rigtig god kilde af Norman Swartz (Indiana University Ph.D., 1971 (History and Philosophy of Science)):

www.sfu.ca/philosophy/swartz/modal_fallacy.htm

Internet Encyclopedia of Philosophy om den modale fejlslutning i guddommelig forviden:

www.iep.utm.edu/f/foreknow.htm#section6

The Fallacy Files om modale fejlslutninger generelt, se subsiden om den fejlslutning jeg skriver om her:

www.fallacyfiles.org/modalfal.html

Stanford Encyclopedia of Philosophy om modallogik. De nævner fejlen lige før afsnittet om Deontic Logic:

plato.stanford.edu/entries/logic-modal/

En kort analyse af hvilket logisk udtryk ‘måske’ udtrykker.

Det er tydeligt, at ‘måske’ udtrykker noget med muligheder, et område der behandles af modallogikken. Spørgsmålet er om det blot udtrykker, at det som det står sammen med er muligt, eller om det også udtrykker at det modsatte også er muligt. Dette kan skrives formelt:

a. ◊p (muligt at p)

b. ◊p ˄ ◊¬p (muligt at p og muligt at ikke-p)

Jeg har konstrueret et argument som benytter Det sproglige princip om det stærkeste udtryk som præmis til at vise at (a) implicerer (b).

1. Hvis princippet er sandt, så udtrykker (a) at ikke-nødvendigvis at p.

2. Princippet er sandt.

3. (a) udtrykker at ikke-nødvendigvis at p. (1, 2)

4. “Ikke-nødvendigvis at p” er identisk med “muligvis at ikke-p”.

5. (a) udtrykker at muligvis at ikke-p. (3, 4)

6. (a) udtrykker at muligvis at p.

7. (a) udtrykker at muligvis at ikke-p og muligvis at p. (5, 6)

Herfra ses det, at (a) implicerer (b). Givet at en af disse forståelse af ‘måske’ er korrekt, så følger det, at ‘måske’ udtrykker at muligt at p og muligt ikke-p.

Anbefalet læsning:

“Modal logic”, SEP, link

“Det sproglige princip om det stærkeste udtryk”, Emil Kirkegaard, link

I modallogik findes mange systemer, et af dem kaldes S5 og har den egenskab at:

S5: 00…□ = □ and 00…◊ = ◊, where each 0 is either □ or ◊

og et andet kaldes B

(B) A→□◊A

Altså, enhver række af symbolerne □ og ◊ er ensbetydende med det sidste symbol. I.e. hvis p og q er ensbetydende og p er sand, så er q også sand og vice versa. Hvis noget er sand, så er det meningsfyldt; noget ikke-meningsfuldt kan ikke være sandt eller falsk.

Jeg tror at jeg har opdaget et problem med mening og modallogik. Her er mit bevis:

1. Lad V være ‘verden findes’.

1′. V := Verden findes.

En simpel definition.

2. V er sand.

2′. V

Givet alt hvad vi ved, så findes verden. Det kan argumenteres at verden nødvendigvis findes, men dette er irrelevant for dette essay.

3. Hvis V, så nødvendigvis muligvis V.

3′. V→□◊V

(3) følger af (B).

4. Nødvendigvis muligvis V

4′. □◊V

Følger af (2) og (3).

5. Muligvis V

5′. ◊V

Følger af (4) og S5.

Intet af dette er kontroversielt. Problemet er, at Possible World Semantics (PWS herefter), siger at muligvis p kan forstås som en mulig verden hvor p er sand og at nødvendigvis p kan forstås som at i alle verdener er p sand. Hvis det er sandt i alle mulige verdener, så er det også sandt i den aktuelle verden. Vi har set, at en sand proposition, V, medfører nødvendigvis muligvis V. Hvad sker der hvis man forsøger at forstå dette med PWS?

Der sker det, at man kommer til at få verdener inden i andre verdener. Dette er meningsløst, men givet PWS og modalogikken præsenteret ovenover, så følger det at nødvendigvis muligvis V er meningsfuldt. Hvis man skulle sige nødvendigvis muligvis V, så ville det blive til:

I alle mulige verdener er der en muligvis verden hvor V sand.

Men der er ingen verdener indeni andre verdener. Dette ved vi fordi at verden er defineret til alt der findes. Der kan ikke findes to verdener; hvis vi antager at der findes to verdener, så ville vi komme frem til at de har alle deres egenskaber tilfælles og er derfor den samme verden.

For at gøre det mere absurd, så følger det af S5, at hvis V, så nødvendigvis muligvis nødvendigvis muligvis nødvendigvis muligvis nødvendigvis muligvis nødvendigvis muligvis nødvendigvis nødvendigvis muligvis nødvendigvis V. Som betyder at:

Hvis V, så i alle mulige verdener, er der en mulig verden hvor i alle mulige verdener er der en mulig verden… etc. S5 og PWS implicerer, at dette er meningsfuldt. Det er det ikke, ergo er der noget galt med PWS og S5.