En betingelse er nødvendig kun hvis at det ikke kan ikke overholdes og den samlede betingelsen stadig er opfyldt.
En betingelse er tilstrækkelig kun hvis at en samlede betingelse kan overholdes med den alene.
For at forstå hvad jeg mener med samlede betingelser, så lad os se på en typisk betingelse:
Eksempel 1
1. A er B kun hvis alle 1.x
1.1 A er B kun hvis C.
(1) er den samlede betingelse. (1.1) er en underbetingelse af (1). Samlede betingelsers betingelser er altid underbetingelser. Dette kan vi se i (1) ved at den kræver at alle (1.x) betingelser er opfyldt. x er alle tal fra et til uendelig. Betingelser kan kun have positive naturlige tal som kendetegn.
Eksempel (E) 2
1. A er B kun hvis alle 1.x
1.1 A er B hvis C.
Ligesom ovenover er (1) den samlede betingelse og (1.1) er en underbetingelse af (1). E2 er af lidt anden form end (1), men vi skal se, at de er ensbetydende. Det gælder at hvis der kun er en underbetingelse, så er denne nødvendig og tilstrækkelig.
For at det gøre lettere at skrive, så kan vi bytte formuleringerne af tilstrækkelig og nødvendig ud med symboler:
T(A =B)C betyder at C er tilstrækkelig for at A er B.
N(A=B)C betyder at C er nødvendig for at A er B.
Det gælder altså at, N(A=B)C↔T(A =B)C.
E1.1
1. N(A=B)1.x
1.1 N(A=B)C
Er E1 formuleret vha. tegnene ovenover.
E2.1
1. N(A=B)1.x
1.1 T(A=B)C
Er E2 formuleret vha. tegnene ovenover.
E3
1. NT(A=B)1.x
1.1 NT(A=B)1.1.x
1.1.1 NT(A=B)C
Nu skal vi se på noget nyt. Der er tilføjet en tredje betingelse samt at betingelserne både skrevet både som N og T. Det viser sig dog, at alt mere end to betingelser er overflødigt og ensbetydende med blot to betingelser, en samlet betingelse og en underbetingelse. Dette gælder kun hvis at der kun er en betingelse i hver gruppe. En gruppe er fx alle betingelse med navnet 1.x i.e. 1.1, 1.2, 1.3… men ikke fx 1 eller 1.1.1.
E3 er således ensbetydende med E1 og E2.
E4
1. NT(A=B)T1.x
1.1 T(A=B)C
1.2 T(A=B)D
Denne type er per gældende regler ikke ensbetydende med de andre vi har set på, dette skyldes at der er to betingelser i første undergruppe. Det kan ikke sluttes at nogle af underbetingelserne er T, da der er mere end en underbetingelse i første undergruppe; (1.x).
Læg mærke til at (1) er ændret fordi at det ikke længere er nødvendigt med alle underbetingelserne for at opfylde (1). T1.x angiver at det er tilstrækkeligt med blot en betingelse fra (1.x).
E5
1. NT(A=B)1.1+T[1.2-1.3]
1.1 N(A=B)1.1.x
1.1.1 T(A=B)C
1.2 T(A=B)D
1.3 T(A=B)E
Endnu mere avanceret end før. (1) angiver at (1.1) er nødvendig mens at en fra gruppen [1.2-1.3] er nødvendig. (1.1) angiver at alle 1.1.x er nødvendige for at opfylde (1.1). (1.1.1) angiver at C er tilstrækkelig for at opfylde (1.1.1). Vi husker fra før at hvis der kun er en betingelse i en gruppe, så er denne NT, derfor er (1.1.1) NT. VI husker også at hvis der er tre grupper med en betingelse i hver, så kan vi fjerne den midterste. Den midterste fjernes i tilfælde af at en senere gruppe fx (1.1.1.x) er anderledes. Reglen fra før gentages til at systemet er reduceret så meget som muligt. Givet dette kan vi ændre #5 til #5.1:
Eksempel #5.1
1. NT(A=B)1.1+T[1.2-1.3]
1.1 N(A=B)C
1.2 T(A=B)D
1.3 T(A=B)E
Vi har fjernet (1.1.1) da den gruppe var overflødig. Det viste sig at være lige meget om (1.1.1) var NT, da den var overflødig.
Eksempel #6
1. NT(A=B)1.1+T[1.2-1.3]
1.1 NT(A=B)C
1.2 T(A=B)D
1.3 T(A=B)E
Vi skal nu se på mere overflødighed. Da (1.1) er angivet som NT, hvad skal vi så med (1.2) og (1.3)? Ingen disse gør nogen forskel da (1) alligevel ikke ville kunne overholdes uden (1.1) og fordi at (1.1) er T. Det gælder at hvis en gruppe indeholder kun en betingelse som er N og denne også er T, så er resten overflødige. Derfor er (1.2) og (1.3) overflødige. Eksempel #6 implicerer eksempel #6.1:
Eksempel #6.1
1. NT(A=B)1.1
1.1 NT(A=B)C
Læg mærke til at (1) også blev ændret, da undergruppen blev ændret.
En generel indfaldsvinkel
Man kan også se på nødvendighed og tilstrækkelighed på en mere generel måde. Hvis vi fx tænker på nødvendige og tilstrækkelige årsager defineret således:
En nødvendig årsag er en årsag som skal være til stede før at en given begivenhed kan finde sted.
En tilstrækkelig årsager er en årsag som er nok til at forårsage en given begivenhed, men som behøver at være der hver gang.
Vi kan også anse ovenstående som mængder. Nogle nødvendige årsager er tilstrækkelige og nogle tilstrækkelige er nødvendige. Det gode ved den mere generelle indfaldsvinkel er at den kan anvendes på alle ting som nødvendig og tilstrækkelig kan (konceptuelt) bruges sammen med.
Illustration
Jeg har undret mig i et par dage (det er lang tid for mig) over om denne teori; denne forståelse af nødvendig og tilstrækkelig er god.
Specielt er jeg usikker på, om det er nødvendigt med den “ekstra” hovedbetingelse.
Jeg undlader at færdigskrive artiklen og lader nogle udvalgte personer bedømme den.