I modallogik findes mange systemer, et af dem kaldes S5 og har den egenskab at:

S5: 00…□ = □ and 00…◊ = ◊, where each 0 is either □ or ◊

og et andet kaldes B

(B) A→□◊A

Altså, enhver række af symbolerne □ og ◊ er ensbetydende med det sidste symbol. I.e. hvis p og q er ensbetydende og p er sand, så er q også sand og vice versa. Hvis noget er sand, så er det meningsfyldt; noget ikke-meningsfuldt kan ikke være sandt eller falsk.

Jeg tror at jeg har opdaget et problem med mening og modallogik. Her er mit bevis:

1. Lad V være ‘verden findes’.

1′. V := Verden findes.

En simpel definition.

2. V er sand.

2′. V

Givet alt hvad vi ved, så findes verden. Det kan argumenteres at verden nødvendigvis findes, men dette er irrelevant for dette essay.

3. Hvis V, så nødvendigvis muligvis V.

3′. V→□◊V

(3) følger af (B).

4. Nødvendigvis muligvis V

4′. □◊V

Følger af (2) og (3).

5. Muligvis V

5′. ◊V

Følger af (4) og S5.

Intet af dette er kontroversielt. Problemet er, at Possible World Semantics (PWS herefter), siger at muligvis p kan forstås som en mulig verden hvor p er sand og at nødvendigvis p kan forstås som at i alle verdener er p sand. Hvis det er sandt i alle mulige verdener, så er det også sandt i den aktuelle verden. Vi har set, at en sand proposition, V, medfører nødvendigvis muligvis V. Hvad sker der hvis man forsøger at forstå dette med PWS?

Der sker det, at man kommer til at få verdener inden i andre verdener. Dette er meningsløst, men givet PWS og modalogikken præsenteret ovenover, så følger det at nødvendigvis muligvis V er meningsfuldt. Hvis man skulle sige nødvendigvis muligvis V, så ville det blive til:

I alle mulige verdener er der en muligvis verden hvor V sand.

Men der er ingen verdener indeni andre verdener. Dette ved vi fordi at verden er defineret til alt der findes. Der kan ikke findes to verdener; hvis vi antager at der findes to verdener, så ville vi komme frem til at de har alle deres egenskaber tilfælles og er derfor den samme verden.

For at gøre det mere absurd, så følger det af S5, at hvis V, så nødvendigvis muligvis nødvendigvis muligvis nødvendigvis muligvis nødvendigvis muligvis nødvendigvis muligvis nødvendigvis nødvendigvis muligvis nødvendigvis V. Som betyder at:

Hvis V, så i alle mulige verdener, er der en mulig verden hvor i alle mulige verdener er der en mulig verden… etc. S5 og PWS implicerer, at dette er meningsfuldt. Det er det ikke, ergo er der noget galt med PWS og S5.