Teori

Alle eller næsten alle mennesker har prøvet flere gange at opdage, at to af de domme de gik og troede på var inkonsistente. Dette sker forholdsvis ofte. Herfra slutter vi induktivt til at næsten alle mennesker p.t. tror på noget inkonsistent. Men hvis en person tror på noget inkonsistent, så er alle domme slutbare i personens trosystem. Alligevel er vi tilbøjelige til ikke at benytte os af denne chance til at ræsonnere os frem til hvad som helst.

Lad os se på argumentet i sin fulde form:

D:s ≡ Subjekter,

D:p ≡ Domme.

Ts[p] ≡ S tror at p. Det som subjektet tror på er det der står inden i klammerne ”[]”.

Ss[p] ≡ p er slutbar i S’s trosystem.

s ≡ S

n Dom Symboler Forklaring
1 Der eksisterer mindst en dom således at S tror på den og S tror på dommens negation. (∃p)(Ts[p]∧Ts[¬p]) Præmis.
2 Der eksisterer mindst en dom således at S tror på den og S tror på dommens negation logisk implicerer at for alle p, p er slutbart i S’s trosystem. (∃p)(Ts[p]∧Ts[¬p])⇒(∀p)(Ss[p]) Præmis.
3 For alle p, p er slutbart i S’s trosystem. (∀p)(Ss[p]) Slutning fra 1,2, MP.

Lad os så se eksplosionsargumentet:

n Dom Symboler Forklaring
1a P og ikke-P. P∧¬P Præmis.
2a P. P Slutning fra 1, simp.
3a P eller Q. P∨Q Slutning fra 2, DI.
4a Ikke-P. ¬P Slutning fra 1, simp.
5a Q. Q Slutning fra 3a, 4a, DS.

Nu bruger vi en lidt stærkere version af fremgangsmåden fra tidligere til at skabe en doksastisk logisk version af dette argument. Fremgangsmåde:

1. Foran alle atomare domme i alle præmisser indsættes ”S tror at ”.1
2. Foran slutninger inkl. konklusionen indsættes ”Det er slutbart i S’s trosystem at ”.

Argumentets kompleksitet kræver at det oversættes til prædikatslogik. Nu skaber vi en doksastisk logisk version af eksplosionsargumentet:

a Dom Symboler Forklaring
1b Der eksisterer mindst en P således at S tror at (P og ikke-P). (∃p)(Ts[p]∧Ts[¬p]) Præmis
2b P er slutbart i S’s trosystem. Ss[p] Slutning fra 1b.
3b (P eller Q) er slutbart i S’s trosystem. Ss[p∨q] Slutning fra 2b.
4b Ikke-P er slutbart i S’s trosystem. Ss[¬p] Slutning fra 1b.
5b Q er slutbar i S’s trosystem. Ss[q] Slutning fra 3b, 4b.

Bemærk også at Q kan være hvilken som helst dom, så faktisk kunne man i stedet for (5b) skrive: (∀q)(Ss[q]), altså: For alle q, q er slutbar i S’s trosystem, og i stedet for (3b) skrive (∀q)(Ss[p∨q]), altså: For alle q, p eller q er slutbar i S’s trosystem.

Siden at (5b) er logisk impliceret af (3b) og (4b), og at disse domme er logisk impliceret af (1b), så logisk implicerer (1b) (5b). Dette er (2).

1En atomar dom er en dom der er repræsenteret af et enkelt bogstav, fx p. Dette skrives for at undgå at ”S tror at ” sættes foran kvantorerne (fx (∀x) og (∃x)) i prædikatslogik.