For noget tid siden skrev jeg en kritik af et teistisk argument. Noget af min kritik viste sig at være fejlagtig. Fejlen bestod i at jeg klassificerede denne argumentform som ugyldig:

1. Hvis ikke-P, så ikke-Q.

2. Q.

3. P.

Jeg startede siden en tråd på IIDB.org for at se om andres intuition også tog fejl, og det viste sig at jeg havde ret.1 Sidenhen er jeg blevet klogere om hvorfor at det er gyldigt og det var det jeg havde tænkt mig at forklare. Der er to ruter til at vise at det er gyldigt.

Rute et

Dette er den lette metode. Man anvender dobbelt negation og modus tollens.

4. Ikke-ikke-Q (fra 2 og dobbelt negation)

Man kan altid bytte ingenting ud med to negationstegn.

5. Ikke-ikke-P (fra 4 og modus tollens).

Negationstegnerne har det med at forvirre. En normal modus tollens slutning er: Hvis A, så B, ikke-B, ergo ikke-A. Vi sætter blot nogle flere ikke’r ind.

6. P (fra 5 og dobbelt negation)

Som ved (4) bare den anden vej. Vi bytter to negationstegn ud med ingenting.

Rute to

Denne metode er lidt mere kompliceret og anvender bl.a. kontraposition.

Kontraposition er når man vender en betingelse om og indsætter to negationstegn:

1. Hvis ikke-P, så ikke-Q.

Kontraposition.

7. Hvis ikke-ikke-Q, så ikke-ikke-P.

Fjernelse af dobbelt negationer.

8. Hvis Q, så P.

Kontraposition

Men også kontraposition virker ikke intuitiv for mig. Lad mig forklare hvordan kontraposition virker. Alternativt kan Wikipedias forklaring findes her.2 jeg vil demonstrere at kontrapositioner er logisk ækvivalente. Med ‘kontrapositioner’ mener jeg to propositioner som står i kontraposition til hinanden.

Se denne betingelse:

9. Hvis P, så Q.

Dette er kun falsk når at P er sand og Q falsk. Vi tilføjer negationstegn og får en sandhed:

10. Ikke-(P og ikke-Q)

Man kan vende indholdet af en disjunktion uden betydning:

11. Ikke-(ikke-Q og P)

Vi definerer ‘R’ som ‘ikke-Q’ og ‘S’ som ‘ikke-P’:

12. Ikke-(R og ikke-S)

Dette er definition på en materiel implikation, vi bytter ud:

13. Hvis R, så S.

Vi husker at definitioner af ‘R’ og ‘S’ og bytter om:

14. Hvis ikke-Q, så ikke-P.

Således har vi vist, at kontrapositionerne af logisk ækvivalente med hinanden.

1Se her og her.

2http://en.wikipedia.org/wiki/Contraposition